U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika
![{\displaystyle \int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ec00cdbb18ded89ad1013765b8b10c0f17cc15)
tada se, za
, derivacija ovog integrala može iskazati kao
![{\displaystyle {d \over dx}\,\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c8cd80e55c0cf507b6213cccf650c69093f893)
uz uslov da su
i
neprekidne na oblastima oblika
![{\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31f755254384f06e67c1eca1e71337812de4cc5)
Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:
gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.
Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj[uredi | uredi izvor]
Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.
Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:[1]
![{\displaystyle \ -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v\times } \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d\mathbf {s} \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6583d692d15d55aaa390c56716922026a1f949)
gdje je:
- F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t
- Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
- d A je vektorski element površi Σ
- d s je vektorski element krive ∂Σ
- v je brzina kretanja oblasti Σ
- ∇• je vetor divergencije
- × je vektorski proizvod
- Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.
Prvo, pretspostavimo da vrijedi
![{\displaystyle u(x)=\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe1324ff5aaaf03728f49b6d211a82a2663253d)
Tada je
![{\displaystyle {d \over dx}u(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h)-u(x) \over h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc5b975753a94185bf67227f85cc32a94da965d)
Zamjenom u prethodno imamo
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x+h,y)\,dy-\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy \over h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a96824ff802b88f3c27ce65cfdca12f10a75cf)
Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}{\int _{y_{0}}^{y_{1}}(f(x+h,y)-f(x,y))\,dy \over h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6ad8a76861d393b6978637f10c1ea759e1230d)
Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom
![{\displaystyle =\lim _{h\rightarrow 0}\int _{y_{0}}^{y_{1}}{f(x+h,y)-f(x,y) \over h}\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135975c4529070e03056443ef0922e525ce7e215)
Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:
![{\displaystyle =\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828497e3ee3e672f49691501ee275b1379ba05f8)
koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga
![{\displaystyle {d \over dx}u(x)=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72beeae473f19249e1fcb59cbe420044ad175ac5)