| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
U matematici, Cauchyjev integralni test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom Maclaurin–Cauchyjev test (ili samo Cauchyjev integralni test).
Uzmimo cijeli broj N i nenegativnu monotono opadajuću funkciju f definisanu na neograničenom intervalu [N, ∞). Tada red
![{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d24efdf70da8768203351f817fad8084f1e4ec)
konvergira ako i samo ako integral
![{\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b7a761015902ac7943525f6a2c31bdbbda4c24)
ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.
U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član f(n) sa integralom od f preko intervala [n − 1, n] i [n, n + 1], respektivno.
Pošto je f monotono opadajuća funkcija, znamo da je
![{\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for }}x\in [n,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832b8cd938c8ce717f611a5743d6c595594b2e16)
i
![{\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for }}x\in [N,n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb860725d13d4b6fdc151c94853b240d94c8f3f)
odakle vrijedi, za svaki n veći od N
![{\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c974ffa781ab44606134ac3aaa8837b52010aabe)
Pošto prethodna procjena važi i za f(N), dobijamo sumiranjem preko cijelog n, od N do nekog većeg cijelog broja M
![{\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}F(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24615cd0da7bec9fee11444dc250bb21076f2b6f)
Kada pustimo da M teži u beskonačnost, dobijamo razultat.
Hermonijski red
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb88a65195479de89de202648fb46f7ddb89d475)
divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo
![{\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90fbdb28d08971e68e25855df89723520438014)
Suprotno, red
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fdb5ed5fdd497c5a7223b9bac2e277d9cd1506)
(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom)
konvergira za svaki ε > 0, pošto je
![{\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{for all }}M\geq 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c8a7cb98825f5697647ce52410fee8a641433f)
Granica između konvergencije i divergencije[uredi | uredi izvor]
Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da f(n) opada do 0 brže od 1/n, ali sporije od 1/n1+ε, u smislu da
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d15a1ddad5f9d2faffebc7971958cdb7e1c9e4)
za svaki ε > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije f(n) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da f(n) uzme ulogu 1/n, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.
Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj k, red
![{\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a808722482a47563037ccdc8fb61acc6584acb55)
još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za k = 1), ali
![{\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa76a6b9d72e46325a66ac723ee0691789fcc9d)
konvergira za svaki ε > 0. Ovdje lnk označava k-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa
![{\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2a7fd63e65efc91e826bea020d0a05115ff764)
Nadalje, Nk označava najmanji prirodni broj takav da je k-ta kompozocija dobro definisana i lnk Nk ≥ 1, npr.
![{\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ce27b4ca0aab7d03464e0141a3082a533550ba)
koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.
Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b862201c4b526919a1552d13ca1724b13886cc)
odakle vrijedi
![{\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663bd52fd407195996236b8349b6944f78dd571a)
Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo
![{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699f2e6a03fa7ae16abc65e683bb192ea8ecee1d)
odakle vrijedi
![{\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7ca7e32d900e26410c5fd6eddcbf41128e1be1)
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3